Question

（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于两点, 直线的斜率分别为（其中）．△的面积为, 以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列, 求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由垂直平分线性质可知，，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，可求其轨迹方程；

（Ⅱ） 设直线的方程为，与椭圆方程联立，由及韦达定理可求得，再利用可求出的取值范围，求出，即可求的取值范围。

试题解析：（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分

设其方程为，可知，，则， 3分

所以点Q的轨迹的方程为． 4分

（Ⅱ）设直线的方程为，，

由可得，

由韦达定理有：

且 6分

∵构成等比数列，=，即：

由韦达定理代入化简得：．∵ ，． 8分

此时，即．又由三点不共线得

从而．

故

10分

∵

则

为定值． 12分

当且仅当时等号成立．

综上：的取值范围是． 13分

考点：椭圆定义及性质，直线与圆锥曲线关系，基本不等式.