Question

（2009•越秀区模拟）已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．
（1）求证：a＜0，c＞0；
（2）求证：0≤

b

a

＜1．

Answer 1

分析：（1）由已知中a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，我们根据不等式的基本性质可得4a＜0＜4c，进而可得a＜0，c＞0；
（2）结合f（1）=0可得-

1

3

＜

b

a

＜1，结合关于t的方程f（t）=-a有实根可得

b

a

≤-2或

b

a

≥0，综合可得0≤

b

a

＜1．

解答：证明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，
∴f（1）=a+2b+c=0  ①．
又a＜b＜c，∴2a＜2b＜2c，∴4a＜a+2b+c＜4c，
即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0．
（2）由f（1）=a+2b+c=0，得c=-a-2b，又a＜b＜c及a＜0，得-

1

3

＜

b

a

＜1  ②．
将c=-a-2b代入f（t）=at²+2bt+c=-a，得at²+2bt-2b=0．
因为关于t的方程at²+2bt-2b=0有实根，所以△=4b²+8ab≥0，
即(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0，解得

b

a

≤-2或

b

a

≥0  ③．由②、③知0≤

b

a

＜1．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知构造关于a，b，c的不等式（组）是解答本题的关键．