Question

19．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=3，AA₁=2，E，F分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，M是上底面的棱AD上一点，且AM=2，过M，E，F的平面与BA的延长线交于点N，则MN的长度为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{10}}}{3}$

Answer 1

分析 如图连结AC，作MH∥AC交CD与H，得EF∥AC∥MH，过M，E，F的平面与面ABCD的交线时MH，延长HM交BA延长线与N，根据相似可求MN．

解答 解：如图连结AC，作MH∥AC交CD与H，∵E，F分别是棱A₁B₁，B₁C₁的中点，∴EF∥AC∥MH，
过M，E，F的平面与面ABCD的交线时MH，延长HM交BA延长线与N，
根据AN∥HD可得$\frac{HM}{MN}=\frac{MD}{MA}=\frac{1}{2}$，∴$MN=\frac{2}{3}HN=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×\sqrt{10}$，∴MN的长度为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故选：D，
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点评 本题考查了空间作图，即线段的长度求解，属于基础题．