Question

4．已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若点A（x₀，y₀）是直线x-y-4=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N．
①求证：直线MN恒过定点；
②△AMN的面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=-1相切．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程．
（2）①x²=4y，可得y′=$\frac{x}{2}$，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），曲线在点M的曲线方程为：y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，在点N处的曲线方程为：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-y₂，代入点A（x₀，y₀），可得直线MN的方程：y=$\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，其中y₀=x₀-4，即x₀（x-2）+2（4-y）=0，即可证明直线MN恒过定点．
②联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\end{array}\right.$，化为：x²-2x₀x+4y₀=0，利用根与系数的关系可得|MN|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．点A到直线MN的距离d=$\frac{|{x}_{0}^{2}-4{y}_{0}|}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+4}}$．利用S=$\frac{1}{2}$d|MN|，即可得出．

解答 （1）解：动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程：x²=4y．
（2）①证明：∵x²=4y，∴y′=$\frac{x}{2}$，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
曲线在点M的曲线方程为：y=$\frac{{x}_{1}}{2}$x-y₁，在点N处的曲线方程为：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$x-y₂，
代入点A（x₀，y₀），可得直线MN的方程：y=$\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，其中y₀=x₀-4，即x₀（x-2）+2（4-y）=0，
∴直线MN恒过定点P（2，4）．
②解：联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\end{array}\right.$，化为：x²-2x₀x+4y₀=0，
△=$4{x}_{0}^{2}-16{y}_{0}$=$4{x}_{0}^{2}-16{x}_{0}+64＞$0，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁•x₂=4x₀-16．
∴|MN|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（4+{x}_{0}^{2}）（{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+16）}$．
点A到直线MN的距离d=$\frac{|{x}_{0}^{2}-4{y}_{0}|}{\sqrt{{x}_{0}^{2}+4}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$d|MN|=$\frac{1}{2}×|{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+16|•\sqrt{{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+16}$，
令t=${x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+16$=$（{x}_{0}-2）^{2}$+12≥12，
则S≥$\frac{1}{2}×12×\sqrt{12}$=$12\sqrt{2}$，当且仅当x₀=2，y₀=-2时，取等号．
∴△AMN的面积S的最小值为12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、函数的单调性、利用导数研究曲线的切线斜率，考查了推理能力与计算能力，属于难题．