Question

13．已知数列{a_n}的前 n 项和为 S_n，a₁=1，且 a_n+1=2S_n+1，n∈N^?．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令 c=log₃a_2n，b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$，记数列{b_n}的前 n 项和为T_n，若对任意 n∈N^?，λ＜T_n 恒成立，求实数 λ 的取值范围．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2S_n+1，n∈N^?，n≥2时，a_n=2S_n-1+1，可得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．n=1时，a₂=2a₁+1=3，满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II） c=log₃a_2n=$lo{g}_{3}{3}^{2n-1}$=2n-1．b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用“裂项求和”及其数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵a_n+1=2S_n+1，n∈N^?，n≥2时，a_n=2S_n-1+1，可得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
n=1时，a₂=2a₁+1=3=3a₁，满足上式．
∴数列{a_n}是等比数列，∴a_n=3^n-1．
（II） c=log₃a_2n=$lo{g}_{3}{3}^{2n-1}$=2n-1．
b_n=$\frac{1}{{{c_n}•{c_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，
数列{b_n}的前 n 项和T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{7}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+1}）$+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
∵对任意 n∈N^?，λ＜T_n 恒成立，
∴λ＜$\frac{1}{4}（1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$=$\frac{1}{5}$．
∴实数 λ 的取值是$（-∞，\frac{1}{5}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、对数运算性质、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．