Question

15．设M、N、T是椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M₁、N₁．
（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k₁，k₂，求证k₁k₂为定值．
（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M₁N₁L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（p，q），N（-p，-q），T（x₀，y₀），则k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{q}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{p}^{2}}$，
又$\frac{{p}^{2}}{16}+\frac{{q}^{2}}{12}=1，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1$即可得k₁k₂
（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），根据面积之比得r
即直线MN经过点F（2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），K（x₀，y₀）
分①当直线MN垂直于x轴时，②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x-2）
x₀=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．${y}_{0}=\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$消去k，整理得（x₀-1）²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1（y₀≠0）．

解答 解：（Ⅰ）设M（p，q），N（-p，-q），T（x₀，y₀），则k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{q}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{p}^{2}}$，…（2分）
又$\frac{{p}^{2}}{16}+\frac{{q}^{2}}{12}=1，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1$两式相减得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{p}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}-{q}^{2}}{12}=0$，
即k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{q}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{p}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，…（…（5分）
（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s_△MNL=$\frac{1}{2}$×|r-3|•|y_M-y_N|
${S}_{{M}_{1}{N}_{1}L}$=$\frac{1}{2}•5•$|${y}_{{M}_{1}}-{y}_{{N}_{1}}|\$．
由于△M₁N₁L与△MNL面积之比为5且|y_M-y_N|=|${y}_{{M}_{1}}-{y}_{{N}_{1}}|\$，得
$\frac{1}{2}•5•|{y}_{{M}_{1}}-{y}_{{N}_{1}}|\$=5$|r-3|•|{y}_{M}-{y}_{N}|\$$•\frac{1}{2}$，r=4（舍去）或r=2．…（8分）
即直线MN经过点F（2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），K（x₀，y₀）
①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分）
②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x-2），则
联立$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1，y=k（x-2）$．⇒（3+4k²）x²-16k²x+16k²-48=0
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$${x}_{1}{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$．…（10分）
x₀=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．${y}_{0}=\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$
消去k，整理得（x₀-1）²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1（y₀≠0）．
综上所述，点K的轨迹方程为（x-1）²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1（x＞0）．…（12分）

点评 本题考查了轨迹方程的求法，及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．