Question

20．数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂和 a₅是方程x²-12x+27=0 的两实数根，数列{b_n}满足3^n-1b_n=na_n+1-（n-1）a_n．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n，并求T_n＜7 时n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解方程得a₂=3，a₅=9，则a₁+d=3，a₁+4d=9，求出首项和公差可得他出事了的通项公式，再由数列{b_n}满足3^n-1b_n=na_n+1-（n-1）a_n，可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n，求解不等式T_n＜7 可得n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是公差d为正数的等差数列，∴a₂＜a₅，
由x²-12x+27=0，解得a₂=3，a₅=9．
∴a₁+d=3，a₁+4d=9，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
数列{b_n}满足3^n-1b_n=na_n+1-（n-1）a_n，
∴3^n-1b_n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1），
∴b_n=$\frac{4n-1}{{3}^{n-1}}$；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3}{1}+\frac{7}{3}+\frac{11}{{3}^{2}}$+…+$\frac{4n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{3}{3}+\frac{7}{{3}^{2}}+…+\frac{4n-5}{{3}^{n-1}}+\frac{4n-1}{{3}^{n}}$，
两式作差得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=3+4（$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）$-\frac{4n-1}{{3}^{n}}$=$3+4•\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{4n-1}{{3}^{n}}$=$5-\frac{4n+5}{{3}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{15}{2}-\frac{4n+5}{2•{3}^{n-1}}$；
由T_n＜7，得：$\frac{15}{2}-\frac{4n+5}{2•{3}^{n-1}}$＜7，即3^n-1＜4n+5．
解得：n≤3．
∴使T_n＜7 时n的最大值为3．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，训练了错位相减法求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．