Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，-1）．
（1）若θ为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，求cosθ的值；
（2）若2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值．
（2）利用两个向量垂直的性质，可得（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，再利用两个向量数量积公式，求得k的值．

解答 解：（1）已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
若θ为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-2}{\sqrt{1+4}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）若2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，则（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（k-2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$ 
=2k×5+（k-2）•（-1）-2=0，求得k=0 或k=10．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．