Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x²-2x．
（1）画出偶函数f（x）的图象；并根据图象，写出f（x）的单调区间；同时写出函数的值域；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质以及函数的奇偶性画出函数的图象，写出单调区间以及函数的值域即可．
（2）利用函数的性质，转化求解函数的解析式即可．

解答 解：（1）图象如图所示：…（3分）
由图象得：函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-1）和（0，1）；
单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞）；…（4分）
函数的值域为[-1，+∞）．…（5分）
（2）设x＜0，则-x＞0，
于是，f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x．…（7分）
又因为函数f（x）是偶函数，
所以f（x）=f（-x）=x²+2x．…（9分）
所以f（x）的解析式为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x\;，\;\;x≥0\;，\;\;\\{x^2}+2x\;，\;\;x＜0\;．\;\end{array}\right.$…（10分）

点评 本题考查函数的图象的画法，函数的图象的应用，解析式的求法，考查计算能力．