Question

5．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{16}{x^2}，0≤x≤2\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，\;x＞2\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t²+at+b=0必有两个根t₁、t₂，分类讨论求解．

解答 解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数，
当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{16}{x^2}，0≤x≤2\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，\;x＞2\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有且仅有
6个不同的实数根，
依题意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递增，
在（-2，0）和（2，+∞）上递减，
当x=±2时，函数取得极大值$\frac{5}{4}$；
当x=0时，取得极小值0．
要使关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），
则t²+at+b=0必有两个根t₁、t₂，则有两种情况符合题意：
（1）t₁=$\frac{5}{4}$，且t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），此时-a=t₁+t₂，则a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）t₁∈（0，1]，t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此时同理可得a∈（-$\frac{9}{4}$，-1），
综上可得a的范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1），
故答案为：（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

点评 本题考查了分段函数与复合函数的应用，需要分类讨论，属于中档题．