Question

5．双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由标准方程可得其焦点坐标以及渐近线方程，进而由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离d=$\frac{|b×\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，结合题意可得a=b，由双曲线的性质可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，进而由离心率公式可得答案．

解答 解：根据题意，假设双曲线的焦点在x轴上，且其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
其焦点坐标为（±$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0），渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，即bx±ay=0
焦点到渐近线的距离d=$\frac{|b×\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
又由该双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则有a=b，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则该双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{2}a}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的焦点到渐近线的距离．