Question

10．△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，则AB•AC的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质求解．

解答 解：△ABC中，D是BC上的点，DA=DB=2，DC=1，设AB=m，AC=n，
cos∠BDA=$\frac{8-{m}^{2}}{8}$，cos∠CDA=$\frac{5-{n}^{2}}{4}$，
∠BDA与∠CDA互补，
∴$\frac{8-{m}^{2}}{8}$=-$\frac{5-{n}^{2}}{4}$，
可得：2n²+m²=18．
那么：AB•AC=m•n=$\frac{1}{\sqrt{2}}m•\sqrt{2}n$≤$\frac{1}{\sqrt{2}}$×$\frac{2{n}^{2}+{m}^{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$（当且仅当m=$\sqrt{2}n$取等号）
故答案为$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理的综合运用和基本不等式的性质的求解最值的问题．属于中档题．