Question

2．已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，且|PF₂|=|F₁F₂|，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设直线PF₁与圆x²+y²=a²相切于点M，取PF₁的中点N，连接NF₂，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF₁|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF₁|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．

解答 解：设直线PF₁与圆x²+y²=a²相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF₁，
取PF₁的中点N，连接NF₂，
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，则NF₂⊥PF₁，|NP|=|NF₁|，
由|NF₂|=2|OM|=2a，
则|NP|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b=2b，
即有|PF₁|=4b，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b²=（c+a）²，即4（c²-a²）=（c+a）²，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．