Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为$\sqrt{3}$的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求$\frac{{|{DP}|}}{{|{AB}|}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由面积为$\sqrt{3}$的正三角形的边长为2，即可求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得椭圆C的标准方程；
（II）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PD的方程及D点坐标，求得丨PD丨及丨AB丨，则$\frac{|DP|}{|AB|}=\frac{{\frac{{3\sqrt{{k^4}+{k^2}}}}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{12（{k^2}+1）}}{{3+4{k^2}}}}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{k^2}{{{k^2}+1}}}=\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{{{k^2}+1}}}$，由k的取值范围，即可求得$\frac{{|{DP}|}}{{|{AB}|}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设右焦点的坐标为（c，0），易知面积为$\sqrt{3}$的正三角形的边长为2，
依题意知，${a^2}={b^2}+{c^2}=4，c=\frac{1}{2}a=1$，
∴b²=a²-c²=3，-------------（2分）
所以，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．---------------------------（3分）
（Ⅱ）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x-1），
将其代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$中得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，-------（4分）
其中，△=144（k²+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，----------------------------（5分）
∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2k=\frac{{8{k^3}}}{{3+4{k^2}}}-2k=\frac{-6k}{{3+4{k^2}}}$，----------------（6分）
因为P为线段AB的中点，所以，点P的坐标为$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}}）$．
故点P的坐标为$（{\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}}）$，-----------------------------（7分）
又直线PD的斜率为$-\frac{1}{k}$，
直线PD的方程为$y-\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}）$，------------------（9分）
令y=0得，$x=\frac{k^2}{{3+4{k^2}}}$，则点D的坐标为$（{\frac{k^2}{{3+4{k^2}}}，0}）$，
所以，$|DP|=\sqrt{{{（{\frac{k^2}{{3+4{k^2}}}-\frac{{4{k^2}}}{{3+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{\frac{-3k}{{3+4{k^2}}}}）}^2}}=\frac{{3\sqrt{{k^4}+{k^2}}}}{{3+4{k^2}}}$，-------（10分）
又$|AB|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（{k^2}+1）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{（{k^2}+1）[{\frac{{64{k^4}}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}-\frac{{4（4{k^2}-12）}}{{3+4{k^2}}}}]}=\frac{{12（{k^2}+1）}}{{3+4{k^2}}}$．-----------------（11分）
所以，$\frac{|DP|}{|AB|}=\frac{{\frac{{3\sqrt{{k^4}+{k^2}}}}{{3+4{k^2}}}}}{{\frac{{12（{k^2}+1）}}{{3+4{k^2}}}}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{k^2}{{{k^2}+1}}}=\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{{{k^2}+1}}}$，-------------（12分）
又∵k²+1＞1，∴$0＜\frac{1}{{{k^2}+1}}＜1$，∴$0＜\frac{1}{4}\sqrt{1-\frac{1}{{{k^2}+1}}}＜\frac{1}{4}$．
所以，$\frac{|DP|}{|AB|}$的取值范围是$（0，\frac{1}{4}）$．------------------------------（13分）

点评 本题考查椭圆标准方程简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．