Question

【题目】如图，在四棱锥中，, 是等边三角形，E是PA的中点，.

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【解析】

（1）取AD中点F，连接BF，EF，结合已知证得AD⊥EF，又△ABC是正三角形，得AD⊥BF，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BEF，进一步得到AD⊥BE；

（2）由AD∥BC，∠BCD＝90°，得AD⊥CD，再由AD⊥PD，得AD⊥平面PCD，可得平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H，则PH⊥平面ABCD，求解直角三角形PDH得PH，再由棱锥体积公式求三棱锥P﹣ABD的体积．

（1）证明：取的中点，连接，，

∵，分别是，的中点，，

∴.

又是正三角形，

∴.

∵，，平面

∴平面

又平面

∴

（2）∵，，

∴.

又，，，平面

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

过点作，交延长线于点，则平面.

在直角三角形中，，，

∴，

∴.