Question

18．已知x，y满足曲线C：x²+y²-4x+3=0．
（1）求3x+4y的取值范围；
（2）求$\frac{y}{x}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用参数法，即可求3x+4y的取值范围；
（2）圆即 （x-2）²+y²=1，而$\frac{y}{x}$表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率$\frac{y}{x}$取得最值．

解答 解：（1）x²+y²-4x+3=0 即（x-2）²+y²=1，
设x=2+cosα，y=sinα，则
3x+4y=6+3cosα+4sinα=6+5sin（α+θ），
∴1≤3x+4y≤11；
（2）（x-2）²+y²=1表示以A（2，0）为圆心，半径等于1的圆．
而$\frac{y}{x}$表示圆上的点（x，y）与原点O连线的斜率，
如图所示：ON OM为圆的两条切线，
显然，当过原点的直线和圆相切时，斜率$\frac{y}{x}$取得最值．
由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，
故ON的斜率等于tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，为最大值，OM的斜率等于tan（-30°）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，为最小值，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{y}{x}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式，直线和圆的位置关系，属于中档题．