Question

9．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$．
（1）若f（x）在（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
（3）当x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，f$′（x）=\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$，而根据f（x）在（1，+∞）上为增函数，从而有f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，这样便可得到a≥-x²恒成立，而能求-x²的范围，从而可得出a的范围；
（2）由条件便得到a≤x²-x在（0，+∞）上恒成立，配方便得到${x}^{2}-x=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，这样即可得出a的范围；
（3）由x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立便可得到m$＜x+\frac{4}{x}$在（1，+∞）上恒成立，根据基本不等式便有$x+\frac{4}{x}≥4$，并且可以取到等号，从而可得出m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$1+\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}+a}{{x}^{2}}$；
f（x）在（1，+∞）上为增函数；
∴f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立；
即x²+a≥0在（1，+∞）上恒成立；
∴a≥-x²在（1，+∞）上恒成立；
-x²＜-1；
∴a≥-1；
∴a的取值范围为[-1，+∞）；
（2）x∈（0，+∞）时，f（x）≥2恒成立；
∴$x-\frac{a}{x}≥2$在（0，+∞）上恒成立；
∴a≤x²-2x在（0，+∞）上恒成立；
x²-2x=（x-1）²-1≥-1；
∴a≤-1；
∴a的取值范围为（-∞，-1]；
（3）x∈（1，+∞），x²-mx+4＞0恒成立；
∴m$＜x+\frac{4}{x}$在（1，+∞）上恒成立；
$x+\frac{4}{x}≥4$，当$x=\frac{4}{x}$，即x=2时取“=”；
∴m＜4；
∴m的取值范围为（-∞，4）．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，知道对于不等式a≥g（x）恒成立时，a只需大于等于g（x）的最大值，配方法求二次函数的值域，以及基本不等式的运用．