Question

【题目】数列{an}中，已知a1= ，an+1= ．
（1）证明：an＜an+1＜ ；
（2）证明：当n≥2时，（ ） ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由 ，得 ，即0≤an≤1．

∴an+1= = ，

又a1= ≠0，且 ，∴0 ．

∴ ＞0．

即

（2）证明：当n=2时， ，

又∵ ，

∴ ．

即当n=2时， 成立，

当n=k时， 成立，即 成立，

当n=k+1时， = ．

∵an+1＞an，∴ak+1＞ak

∴ ．

则 = ，

∴当n=k+1时， 也成立，

∴当n≥2时， 成立

【解析】（1）由已知a1= ，an+1= ，即可得到 ，又0 ，进一步得到 ，则结论an＜an+1＜ 可证；（2）首先证当n=2时， 成立，即当n=k时， 成立，当n=k+1时，ak+1＞ak ， 则 = ，则结论当n≥2时，（ ） ＜2可证．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．