Question

【题目】已知，设函数，．

（1）试讨论的单调性；

（2）设函数，是否存在实数，使得存在两个极值点，，且满足？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）存在，

【解析】

（1）求出函数的定义域以及，讨论的取值范围，即，，或，利用导数与函数单调性的关系即可求解.

（2）解法一：求出，根据题意可得有两解两解，从而可得，从而求得，由，令，可得，利用导数求出的单调性，且根据即可求解；解法二：根据函数有两个极值点可得，然后将不等式化为，由方程，得，令，，则，将不等式化为关于的不等式，利用导数即可证出.

解：（1）的定义域为

==，

（i）若,则，所以在递增，递减，

（ii）若，则在递增，递减，在递增，

（iii）若,则在递增；

（iv）若，则在递增，在递减，在递增.

（2）解法一： ,

， 若有两极值点，

则有两解两解，

.

且

所以.

令，则

若则，

，

令

，

，

所以在递增，在递减

又，

则在区间内存在使得.

函数y=m(x)在单调递增，在单调递减，

由，所以当时满足

，所以

即实数的取值范围为

解法二： ,

， 若有两极值点，

则有两解，

且，所以

即

由方程，得，

令，，则，

令，求导可得

.

令，得到，

所以在上单调递增，在单调递减.

又，，所以由，

即，解得. 故实数的取值范围是.