Question

【题目】已知函数．

（1），求函数的单调区间：

（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求导后，按照、、与分类，分别解出不等式，即可得解；

（2）转化条件得对于任意，不等式恒成立，设，则，设，求导后可得在上单调递增，进而可得，使得，即，则，设，求导后可得在上单调递增，即可证，代入求出后，即可得解.

（1）由题意，

则，

（i）当时，的解集为，则的单调增区间为和，单调减区间为；

（ii）当时，，则的单调增区间为，无单调减区间；

（iii）当时，的解集为，则的单调增区间为和，单调减区间为；

（iiii）当时，的解集为，则的单调增区间为，单调减区间为.

（2）由已知，问题等价于对于任意，不等式恒成立，

设，则，

设，则，

在上，，单调递增，

又，，所以，

所以，使得，即，

在上，，单调递减；

在上，，单调递增；

所以，

又有，

设，则有和，

所以在上，单调递增，所以，

所以，

故实数的取值范围为.