Question

【题目】在平面直角坐标系中，动直线交抛物线于A，B两点.

（1）若，证明直线过定点，并求出该定点；

（2）点M为的中点，过点M作与y轴垂直的直线交抛物线于C点；点N为的中点，过点N作与y轴垂直的直线交抛物线于点P.设△的面积，△的面积为.

（i）若过定点，求使取最小值时，直线的方程；

（ii）求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；定点（2）（i）（ii）

【解析】

（1）设直线的方程，并代入抛物线方程，利用韦达定理和可解决；

（2）（i）得到、的坐标，得到，进而得到，再根据二次函数可求得最小值；（ii）求出，求出代入即可得到结果.

（1）证明：依题意可设直线的方程为，

代入消去x得：，

，即，

设，，则，，

因为，所以，

又，，所以，故，（已舍去）

所以，得，

因此直线的方程为，该直线过定点.

（2）（i）因为过定点，所以由（1）得，即，

恒成立，，，

由题知得，，

所以，

所以，

因为，且时等号成立，

所以，

当取到最小值时，，，

直线的方程为，即.

（ii）依题知可得，，

所以，

由（2）（i）可知（此处可以理解为A，B两点的纵向高度差）

同理可得，

所以.