Question

【题目】椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，直线与椭圆的另一个交点分别为.

（1）若点坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）设，，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析.

【解析】

（1）根据题设条件可直接求出，再根据在椭圆上求出后可得椭圆的方程.

（2）设，，，先用诸点坐标表示、，再联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理得到、与的关系式，最后化简后可得定值.我们也可以利用椭圆的几何性质来证明为定值.

（1），所以椭圆方程为.

（2）法一：坐标法

设，

当时，.

当时，，，

其中：，

从而.

由得，

同理，从而.

.

法二：焦半径法

不妨设点在轴上方，设，

过作左准线的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，

由圆锥曲线的统一定义可得，

故，

整理得到，所以.

同理，，，，

所以，.

又，

，

所以

.