Question

【题目】正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．

①，使得；

②直线与直线所成角的正切值的取值范围是；

③与平面所成锐二面角的正切值为；

④正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．

其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.

取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,

取中点,中点,连接,则易证得,

所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.

①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确；

②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,；

当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,

所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确；

③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确；

④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确．

故答案为:①②③④