Question

【题目】为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36.

（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；

（2）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s；

（3）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？

（注：1.本题所有数据的最后结果都精确到整数；2若随机变量z服从正态分布，则，，）

Answer 1

【答案】（1）74；（2）.（3）可估计该样本校学生“体能达标”测试合格.

【解析】

（1）由甲乙两组学生人数可求得总均分；

（2）设第一组学生的测试成绩分别为，第二组学生的测试成绩分别为，由已知方差求得和，结合（1）可得总方差；

（3）由已知数据知，然后求出不合格的概率得不合格人数，从而得结论．

解：（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，

则这40名学生测试成绩的平均分

故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74，.

（2）由变形得

设第一组学生的测试成绩分别为，

第二组学生的测试成绩分别为，

则第一组的方差为

，

解得.

第二组的方差为

解得.

这40名学生的方差为

，

所以.

综上，标准差.

（3）由，，得的估计值为，的估计值

由，

得，

即

所以.

从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有（人）

而，

故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格.