【题目】已知椭圆的离心率为
,圆
经过椭圆
的左,右焦点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆
交于点
,线段
的中点为
,
的垂直平分线与
轴和
轴分别交于
两点,是否存在实数
,使得
的面积与
(
为原点)的面积相等?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由见解析.
【解析】
(1)设,由题意得
,
,从而可求出
,
,即可得出结果;
(2)先假设存在实数,使得
的面积与
的面积相等,易知
,把
代入
整理,设
,
,由根与系数关系,求得
.,设
点坐标为
,根据题意,求得
.
根据,列出方程,求得方程无解,即可得出结论.
(1)设,由题意得
,
由圆经过椭圆
的左,右焦点
,得
,
所以,
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)假设存在实数,使得
的面积与
的面积相等,易知
,
把代入
,
整理得,
,
设,
,则
,
故点的横坐标为
,点
的给坐标为
,
即.
设点坐标为
,因为
,
所以,解得
,即
.
由,及
的面积与
面积相等,可得
.
所以,
整理得.因为此方程无解,
所以不存在实数,使得
的面积与
的面积相等.
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【题目】已知函数.
(1)若函数在
处的切线斜率为2,试求a的值及此时的切线方程;
(2)若函数在区间
(其中
…为自然对数的底数)上有唯一的零点,求实数a的取值范围.
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【题目】为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针,某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解,决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格,若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲乙两组学生人数的比为3:2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.
(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩;
(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s;
(3)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布,用样本平均数
作为
的估计值
,用样本标准差s作为
的估计值
,利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格?
(注:1.本题所有数据的最后结果都精确到整数;2若随机变量z服从正态分布,则,
,
)
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【题目】已知数列的前
项和为
,把满足条件
(对任意的
)的所有数列
构成的集合记为
.
(1)若数列的通项为
,判断
是否属于
,并说明理由;
(2)若数列的通项为
,判断
是否属于
,并说明理由;
(3)若数列是等差数列,且
,求
的取值范围.
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【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为
,已知
,且
,对一切
都成立.
(1)当时,证明数列
是常数列,并求数列
的通项公式;
(2)是否存在实数,使数列
是等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线
平面
,E,F分别是
,
的中点.
(1)记平面与平面
的交线为l,试判断直线l与平面
的位置关系,并加以证明;
(2)设,求二面角
大小的取值范围.
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【题目】在正六棱锥中,底面边长和侧棱分别是2和4,
,
分别是
和
的中点,给出下面三个判断:(1)
和
所成的角的余弦值为
;(2)
和底面所成的角是
;(3)平面
平面
;其中判断正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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