【题目】如图,在直三棱柱中,,,分别是,的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面平面.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要结合平几知识,如三角形中位线性质,及利用柱体性质,如上下底面对应边相互平行(Ⅱ)证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,往往需要利用线面垂直判定与性质定理进行多次转化:由直棱柱性质得侧棱垂直于底面:底面,再转化为线线垂直;又根据线线平行,将线线垂直进行转化,再根据线面垂直判定定理得平面
试题解析:证明:(1)因为,分别是,的中点,所以, ...........2分
又因为在三棱柱中,,所以. ...............4分
又平面,平面,所以∥平面. ...............6分
(2)在直三棱柱中,底面,
又底面,所以. .............8分
又,,所以, ..........10分
又平面,且,所以平面. ...............12分
又平面,所以平面平面. ............14分
(注:第(2)小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面,类似给分)
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【题目】△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
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【题目】设 , , 是非零向量,已知命题p:若 =0, =0,则 =0;命题q:若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ,则下列命题中真命题是( )
A.p∨q
B.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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【题目】圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1: 过点P且离心率为 .
(1)求C1的方程;
(2)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
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【题目】如图,矩形是一个历史文物展览厅的俯视图,点在上,在梯形区域内部展示文物,是玻璃幕墙,游客只能在区域内参观.在上点处安装一可旋转的监控摄像头.为监控角,其中、在线段(含端点)上,且点在点的右下方.经测量得知:米,米,米,.记(弧度),监控摄像头的可视区域的面积为平方米.
(1)求关于的函数关系式,并写出的取值范围;(参考数据:)
(2)求的最小值.
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【题目】某校高三年级共有学生名,为了解学生某次月考的情况,抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为分)进行统计,绘制出如下尚未完成的频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
(1)补充完整题中的频率分布表;
(2)若成绩在为优秀,估计该校高三年级学生在这次月考中,成绩优秀的学生约为多少人.
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【题目】为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.
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