Question

【题目】已知数列的前项和为，把满足条件（对任意的）的所有数列构成的集合记为.

（1）若数列的通项为，判断是否属于，并说明理由；

（2）若数列的通项为，判断是否属于，并说明理由；

（3）若数列是等差数列，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)不属于，证明见解析；(2)属于，证明见解析；(3)

【解析】

(1)根据等差数列的公式计算，再分析是否对任意的恒成立即可.

(2)根据等比数列的公式计算，再分析是否对任意的恒成立即可.

(3)整理可得，再根据等差数列的求和公式，结合当时的特别情况可得，再代入求解的范围即可.

(1)易得为等差数列，且，.

故，易得随的增大而增大，当时，故不恒成立，即不属于.

(2) 易得为等比数列，公比为 .且，.

，因为，故，.

故恒成立，即属于.

(3)设的公差为，因为，所以…①

特别的当时，，即.

由①有，

整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有 ，即.

又，故，所以，即，解得.