【题目】设数列的各项均为不等的正整数,其前
项和为
,我们称满足条件“对任意的
,均有
”的数列
为“好”数列.
(1)试分别判断数列,
是否为“好”数列,其中
,
,
,并给出证明;
(2)已知数列为“好”数列.
① 若,求数列
的通项公式;
② 若,且对任意给定正整数
(
),有
成等比数列,求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)由,运用等差数列的求和公式,通过
检验即可判断(2)对任意的
,均有
,令
,则
,即
,消去
,可得
从而证明为等差数列,①进而求其通项公式② 若
,则
,由
成等比数列,运用等比中项性质,结合等差数列的通项公式,化简整理,求得
的表达式,分析整理由不等式性质,即可得证.
(1)若,则
,所以
,
而,
所以对任意的
均成立,
即数列是“好”数列;
若,取
,
则,
,
此时,
即数列不是“好”数列.
(2)因为数列为“好”数列,取
,则
,即
恒成立.
当,有
,
两式相减,得(
),
即(
),
所以(
),
所以,
即,即
(
),
当时,有
,即
,
所以对任意
,
恒成立,
所以数列是等差数列.
设数列的公差为
,
① 若,则
,即
,
因为数列的各项均为不等的正整数,所以
,
所以,
,所以
.
② 若,则
,
由成等比数列,得
,所以
,
即
化简得,,
即.
因为是任意给定正整数,要使
,必须
,
不妨设,由于
是任意给定正整数,
所以.
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【题目】圆周率π是数学中一个非常重要的数,历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N人,让每人随机写出一对小于1的正实数a,b,再统计出a,b,1能构造锐角三角形的人数M,利用所学的有关知识,则可估计出π的值是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4,则应从一年级中抽取90名学生
B.10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率为
C.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得=3,
=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
=0.4x+2.3
D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
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【题目】为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针,某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解,决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格,若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1000名学生,现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲乙两组学生人数的比为3:2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.
(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩;
(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s;
(3)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布,用样本平均数
作为
的估计值
,用样本标准差s作为
的估计值
,利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格?
(注:1.本题所有数据的最后结果都精确到整数;2若随机变量z服从正态分布,则,
,
)
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【题目】已知数列的前
项和为
,把满足条件
(对任意的
)的所有数列
构成的集合记为
.
(1)若数列的通项为
,判断
是否属于
,并说明理由;
(2)若数列的通项为
,判断
是否属于
,并说明理由;
(3)若数列是等差数列,且
,求
的取值范围.
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【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为
,已知
,且
,对一切
都成立.
(1)当时,证明数列
是常数列,并求数列
的通项公式;
(2)是否存在实数,使数列
是等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线
平面
,E,F分别是
,
的中点.
(1)记平面与平面
的交线为l,试判断直线l与平面
的位置关系,并加以证明;
(2)设,求二面角
大小的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系,
.以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,点
为
上的动点,
为
的中点.
(1)请求出点轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为
若直线
经过点
且与曲线
交于点
,弦
的中点为
,求
的取值范围.
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