【题目】在四棱锥中
中，
是边长为
的等边三角形，底面
为直角梯形，
，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
．
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，由
是等边三角形可得
，再由底面
为直角梯形，结合已知的边长可证得
，于是得
平面
，从而证得结果；
（2）由条件可得可知
两两垂直，所以以
为坐标原点建立直角坐标系
，利用向量法求出二面角
的余弦值.
（1）证明：取的中点为，连接，因为是等边三角形，所以．
因为在直角梯形中，
，
，
，所以
所以
为等腰三角形，所以
因为
，所以平面
因为
平面，所以
．
（2）解：因为
，
，
为正三角形的边上的高，所以
．
因为
，所以
，由（1）可知两两垂直．
以为坐标原点建立直角坐标系，则
，
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
则
,即
令
得
．
设平面
的法向量为
则
,即
令
，则
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】端午节是我国民间为纪念爱国诗人屈原的一个传统节日.某市为了解端午节期间粽子的销售情况，随机问卷调查了该市1000名消费者在去年端午节期间的粽子购买量（单位：克），所得数据如下表所示：
购买量 |
|
|
|
|
|
人数 | 100 | 300 | 400 | 150 | 50 |
将烦率视为概率
（1）试求消费者粽子购买量不低于300克的概率；
（2）若该市有100万名消费者，请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克棕子才能满足市场需求（以各区间中点值作为该区间的购买量）.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线C的极坐标方程是
.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点.
（1）求
的长；
（2）求点
到A，B两点的距离之积.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列
的前
项和为
，把满足条件
（对任意的
）的所有数列构成的集合记为
.
（1）若数列的通项为
，判断是否属于，并说明理由；
（2）若数列的通项为
，判断是否属于，并说明理由；
（3）若数列是等差数列，且
，求
的取值范围.
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【题目】为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图
.
（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；
（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；
（3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（
3s，
3s）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？
参考公式：s
，
参考数据：
48.
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