Question

【题目】如图（甲），是边长为的等边三角形，点分别为的中点，将沿折成四棱锥，使，如图（乙）．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；

（2）由题意，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立坐标系，求出平面的一个法向量，以及直线的方向向量，由向量夹角公式，即可求出结果.

（1）证明：在中，，，，

所以，

则有，即．

又因为，，平面，

所以平面．

（2）由（1）知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系．

则，，，，易知P在底面的射影为AC与BD的交点，所以

．

，，．

设平面的法向量为，直线和平面所成角为，

则即

令，得．

，

所以直线和平面所成角的正弦值为．