【题目】如图,正方形的边长为
,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若是
的中点,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)取AC中点O,连结PO,BO.推导出PO⊥AC,PO⊥OB,从而PO⊥面ABC,由此能证明面PAC⊥面ABC;
(Ⅱ)以为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出面
的一个法向量和面
的一个法向量,利用夹角公式求解即可.
解:(Ⅰ)证明:取AC中点O,连结PO,BO.
因为PC=PA,所以PO⊥AC,
在中,PO=OB=
AC=2,PB=PA=
,
则,
所以PO⊥OB,
又AC∩OB=O,且AC、OB面ABC,所以PO⊥面ABC,
又PO面PAC,所以面PAC⊥面ABC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得两两垂直,则以
为坐标原点,以
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,如图:
则,
,
设面的一个法向量为
,
则,令
,则
,即
,
又面的一个法向量为
,
则,
又由于二面角为锐角,
则二面角的余弦值为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
经过点
且倾斜角为
,
,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)过原点作直线
的垂线
,垂足为
,
交曲线
于另一点
,当
变化时,求
的面积的最大值及相应的
的值.
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【题目】某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备,施工部门提出以下三种方案:
方案1:运走设备,此时需花费4000元;
方案2:建一保护围墙,需花费1000元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约56000元;
方案3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达60000元,只有一条河流发生洪水时,损失为10000元.
(1)试求方案3中损失费X(随机变量)的分布列;
(2)试比较哪一种方案好.
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【题目】已知抛物线(
)上的两个动点
和
,焦点为F.线段AB的中点为
,且A,B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求面积的最大值.
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【题目】已知函数,有下列四个结论:
①为偶函数;②
的值域为
;
③在
上单调递减;④
在
上恰有8个零点,
其中所有正确结论的序号为( )
A.①③B.②④C.①②③D.①③④
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①函数的图象把圆
的面积两等分;
②是周期为
的函数;
③函数在区间
上有
个零点;
④函数在区间
上单调递减.
则正确结论的序号为_______________.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)已知点,点
为曲线
上的动点,求线段
的中点
到直线
的距离的最大值.并求此时点
的坐标.
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