Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；

（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°

【解析】

（1）证明．，推出平面．得到．证明，得到平面．然后证明平面平面．

（2）分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求出为平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD

∴PA⊥BC

∵ABCD为正方形

∴AB⊥BC

又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB

∴BC⊥平面PAB

∴AE平面PAB

∴AE⊥BC

∵PA=AB，E为线段PB的中点

∴AE⊥PB

又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC

∴AE⊥平面PBC

（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1）

∴，，

设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），

∴

设平面AEF的一个法向量为

则

∴

令y1=2，则

∴

设平面PCD的一个法向量为

则

∴

令y2=1，则

∴

∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，

∴，

解得λ=1，

∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°