[题目]已知函数.(1)若函数在处的切线斜率为2.试求a的值及此时的切线方程,(2)若函数在区间(其中-为自然对数的底数)上有唯一的零点.求实数a的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数.

（1）若函数在处的切线斜率为2，试求a的值及此时的切线方程；

（2）若函数在区间（其中…为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）讨论参数的值，确定函数在区间的单调性，从而根据零点的个数，得出实数a的取值范围.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此时.

所以所求的切线方程为：.

即：

（2），其中

①当时，在区间恒成立，在区间单调递增

又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

②当时，在区间恒成立，在区间单调递减

又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

③当时

（i）时，，单调递减

又∵，，∴函数在区间上有唯一的零点

（ii）当时，，单调递增

∴要使在区间上有唯一的零点，只有当时符合题意

即，即

∴时，函数在区间上有唯一的零点；

∴综上a的取值范围是或.

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（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及数学期望；

（2）在2020年“五一”劳动节前，甲，乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加、两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在、两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，，

①求的分布列及数学期望；

②求当的数学期望取最大值时正整数的值．

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（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；

（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本（单位：元）与当天揽收的快递件数（单位：百件）之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：

每天揽收快递件数（百件）	2	3	4	5	8
每件快递的平均成本（元）	5.6	4.8	4.4	4.3	4.1

根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：

方程甲：，方程乙：.

①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和，，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：称为相应于点的残差，残差平方和；

每天揽收快递件数/百件		2	3	4	5	8
每天快递的平均成本/元		5.6	4.8	4.4	4.3	4.1
模型甲	预报值	5.2	5.0	4.8
模型甲	残差		0.2	0.4
模型乙	预报值	5.5	4.8	4.5
模型乙	预报值		0	0.1