Question

已知函数，为的导函数。 （1）求函数的单调递减区间；

（2）若对一切的实数，有成立，求的取值范围；

（3）当时，在曲线上是否存在两点，使得曲线在 两点处的切线均与直线交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）当时，的减区间为;当时，的减区间为； 当时，无减区间．（2） （3）存在，且交点纵坐标的最大值为10．

【解析】

试题分析：（1）首先对函数求导，然后根据导数的性质，求原函数的单调区间．

（2）由题意可知恒成立，根据绝对值的几何意义，分类去掉绝对值符号，然后再根据基本不等式求解即可．

（3）设切线与直线的公共点为P（2，t），当时，则，由导数的几何意义可知点A为切点的切线的斜率k=，切线方程为．把点P（2，t）代入切线方程中，整理得，同理可得，设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点．求，利用导数的性质求出函数g(x)的单调区间和极值，欲使至少有两个不同的零点，则需满足极大值g（0）≥0且极小值g（2）≤0，解出t即可．

（1）当时，的减区间为；

当时，的减区间为； 当时，无减区间。 4分

（2）由条件得：，

当时，得，即恒成立，因为

（当时等号成立)，所以，即; 6分

当时，得，即恒成立，因为，（当时等号成立)，所以，即;

当时，;

综上所述，的取值范围是 9分

（3）设切线与直线的公共点为，当时，，

则，因此以点为切点的切线方程为．

因为点在切线上，所以，即．

同理可得方程． 11分

设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点．

因为,

当或时，单调递增，当时，递减。

因此，在处取得极大值，在处取得极小值

若要满足至少有两个不同的零点，则需满足，解得

故存在，且交点纵坐标的最大值为10．

考点：1．求函数的导数；2．导数的性质及其应用．