Question

已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d(b,c,d∈R且都为常数)的图象过点(1,7),其导函数在x=处取得最小值.设F(x)=f(x)-ax²(a∈R).

(1)当a＜2时,求F(x)的极小值;

(2)已知P:x∈［0,+∞),Q:F(x)≥0,若P为Q的充分条件,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3x²+2bx+c=3(x+)²+c.

依题意,解得

∴f(x)=x³+2x²+4.

∴F(x)=f(x)-ax²=x³+2x²+4-ax²=x³+(2-a)x²+4.

则F′(x)=3x²+2(2-a)x=x［3x+2(2-a)］.

由F′(x)=0,得x₁=0,x₂=.

∵a＜2,∴x₁＞x₂.

当x变化时,F′(x)、F(x)的变化情况如下:

x	(-∞,-)		(,0)	0	(0,+∞)
F′(x)	+	0	-	0	+
F(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴当x=0时,F(x)取得极小值4.

(2)由(1)知F(x)=x³+(2-a)x²+4.

若P:x∈［0,+∞)为Q:F(x)≥0的充分条件,

即F(x)≥0在［0,+∞)恒成立?当x∈［0,+∞)时,F(x)_min≥0.

①若2-a＞0,即a＜2时,

由(1)可知F(x)_min=F(0)=4＞0,符合题意;

②若2-a≤0,即a≥2时,由F′(x)=0求得x₁=,x₂=0,且x₁＞x₂.

∴当x∈［0,+∞)时,F(x)_min=F()≥0,

即()³-(a-2)()²+4≥0,解之,得2≤a≤5.

综上所述,实数a的取值范围为a∈(-∞,5］.