Question

17．如图四棱锥P-ABCD，三角形ABC为正三角形，边长为2，AD⊥DC，AD=1，PO垂直于平面ABCD于O，O为AC的中点．
（1）证明PA⊥BO；
（2）证明DO∥平面PAB；
（3）若PD=$\sqrt{6}$，直线PD与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥底面ABCD可得PO⊥OB，由正三角形的性质得出AC⊥OB，于是OB⊥平面PAC，故而OB⊥PA；
（2）由直角三角形性质可得OD=AO=1，故△AOD为等边三角形，于是∠OAD=∠BAC=60°，故OD∥AB，从而得出DO∥AB，于是OD∥平面PAB；
（3）过D做DF垂直AC于F，连接PF，则可证DF⊥平面PAC，于是∠DPF为所求角，计算DF，PF得出tan∠DPF．

解答 证明：（1）∵三角形ABC为正三角形，O为AC的中点．
∴BO⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴BO⊥PO，
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴BO⊥平面PAC，∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BO．
（2）∵AD⊥CD，O是AC的中点，
∴OD=AO=$\frac{1}{2}$AC=1，又AD=1，
∴△AOD是等边三角形，又△ABC是等边三角形，
∴∠OAD=∠BAC=60°，
∴DO∥AB，又AB?平面PAB，DO?平面PAB，
∴DO∥平面PAB．
（3）过D做DF垂直AC于F，连接PF．
∵PO⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PO⊥DF，又DO⊥AC，PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，
∴DF⊥平面PAC，∴∠DPF为直线PD与平面PAC所成角．
∵CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴DF=$\frac{AD•CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
即直线PD与平面PAC所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．