Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）通过计算证明AD⊥PD．PD⊥CD．然后证明PD⊥平面ABCD
（2）取AP中点E，过E作EF⊥PB，垂足为F，∠DFE为所求，通过解三角形求出∠DFE=60°．

解答：证明：（1）AD2+PD2=a2+a2=PA2=(

2

a)2，由勾股定理，AD⊥PD.PD2+CD2=a2+a2=PC2=(

2

a)2，由勾股定理，PD⊥CD．∴PD⊥平面ABCD
（2）∵AB⊥AD，AB⊥PD，∴AB⊥平面PAD．
取AP中点E，由三垂线，∵DE⊥AP，∴DE⊥PB．
过E作EF⊥PB，垂足为F，则PB⊥平面DEF，∴PB⊥DF．
∴∠DFE为所求．DE=

2

2

a，EF=

2

2

a×

3

3

=

6

6

a，∴tan∠DFE=

3

．∴∠DFE=60°．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．