Question

【题目】如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为，底面圆的直径AB长为2，O为圆心.C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切.连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED.

（1）求证：平面平面PAC；

（2）若二面角的大小为，求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由，得面，再得，从而可得线面垂直，于是有面面垂直；

（2）二面角的平面角为，大小为，这样以为轴，在底面上作轴建立如图的空间直角坐标系，用向量法求二面角．

（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A，

所以，

又底面，则，，

所以：面，

又因为，在三角形PAB中，

，所以面PAC，面PBC

所以：平面平面PAC；

（2）因为，，

为二面角的平面角，

，如图建立坐标系，易知，

则，，，

，，，

由（1）知为平面PAC的一个法向量，

设平面ODE的法向量为，

，

，

解得：，

.