Question

【题目】定义变换将平面内的点变换到平面内的点；若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，…，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和，某同学研究后认为曲线具有如下性质：①对任意的，曲线都关于原点对称；②对任意的，曲线恒过点；③对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；④记矩形的面积为，则；其中所有正确结论的序号是_______.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

在曲线上任取一点，经变换后得到曲线上的点，…….依次类推，经变换后得到曲线上的点，根据变换得： ，两边取对数，得到

所以分别以为首项，以 为公比的等比数列，从而得到，再根据代入法求轨迹方程，得到 ，然后再对四个命题逐一讨论，进而得到正确的结论.

在曲线上任取一点

经变换后得到曲线上的点，

曲线经变换后得到曲线上的点，

依次类推，曲线上的点，

经变换后得到曲线上的点，

根据题意得： ，

所以

即

所以分别以为首项，以 为公比的等比数列.

所以

所以

又因为点在曲线上

所以

①点不适合，所以曲线不关于原点对称；故错误.

②令 所以曲线不过点；故错误.

③令得，令 ，得,

因为，所以，

同理所以对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；故正确.

④记矩形的面积为，则，

故，故正确.

综上：③④正确

故答案为：③④