Question

【题目】已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）过P（1，0）作动直线AB交椭圆Γ于A，B两点，Q（4，3）为平面上一定点连接QA，QB，设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值，如果是，则求出该定值；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)+=1 (2)见解析

【解析】

（1）依题意2a=4，a=2，e==，则c=，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案；

（2）根据题意，分2种情况讨论：当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系分析可得k1+k2的值，当直线l的斜率不存在时，求出A、B的坐标，计算可得k1+k2的值，综合即可得答案．

（1）依题意2a=4，a=2，e==，则c=，则b2=a2-c2=2，

∴椭圆Γ的标准方程为+=1．

（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB：y=k（x-1），

与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消y整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-4=0，显然△＞0，

∴x1+x2=，x1x2=，

从而k1+k2=+=+=k++k+，

=2k+（3k-3）（+），

=2k+（3k-3），

=2k+（3k-3），

=2k+（3k-3）（-）=2，

当直线AB的斜率不存在时，A（1，），B（1，-），则k1+k2=+=2，

综上所述k1+k2=2．