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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱上一点，

    （1）当为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值；

    （2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值.若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）；（2）存在，且.

    【解析】

    （1）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式

    求解；

    （2）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置.

    由条件可知三条线两两垂直，

    如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

    ， ，，，

    ，,

    设平面的法向量是 ，

    由，得 ，令 ，则 ， ，

    ,,

    直线与平面所成角的正弦值是；

    （2）设 ，，

    设平面的法向量是 ，

    由，得，令 ，则， ，

    ，平面的法向量 ，

    ，解得：

    即是的中点，即.

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    【题目】（本小题满分12分） 一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.

    （1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在（元）段应抽出的人数；

    （2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4表示收入在（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：

    907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

    据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在（元）的概率.

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    【题目】如图，在凸四边形中，,则四边形的面积最大值为_____.

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    【题目】已知直线，点，点是平面直角坐标系内的动点，且点到直线的距离是点到点的距离的2倍.记动点的轨迹为曲线.

    （1）求曲线的方程；

    （2）过点的直线与曲线交于、两点，若（是坐标系原点）的面积为，求直线的方程；

    （3）若（2）中过点的直线是倾斜角不为0的任意直线，仍记与曲线的交点为、，设点为线段的中点，直线与直线交于点，求的大小.

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    【题目】如图，在矩形中， ， ， 是的中点，以为折痕将向上折起， 变为，且平面平面.

    （Ⅰ）求证： ；

    （Ⅱ）求二面角的大小.

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    【题目】

    已知是递增数列，其前项和为，，且，．

    （Ⅰ）求数列的通项；

    （Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；

    （Ⅲ）设，若对于任意的，不等式

    恒成立，求正整数的最大值．

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    【题目】已知函数．

    (1)当，求的单调区间；

    (2)若有两个零点，求的取值范围．

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