Question

如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．

（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．

Answer 1

解：（Ⅰ）设，则．点在圆上，，

即点的轨迹的方程为．…………………………………………4分

（Ⅱ）解法一：（i） 当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；

（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即．………………7分

又直线的斜率等于，点的坐标为．

所以直线的方程为，即． …………………………9分

由得．

．故直线与轨迹相切．

综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切． ……………………………………………13分

解法二 ：设（），则．……………………………………5分

（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；

（ii）当时，直线的方程为，即．

令，则．，又点，

所以直线的方程为，即．………………9分

由得即．

．所以，直线与轨迹相切．

综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………………………………………13分