Question

已知函数，f（x）=x，g(x)=

3

8

x2+lnx+2．
（Ⅰ） 求函数F（x）=g（x）-2•f（x）的极大值点与极小值点；
（Ⅱ） 若函数F（x）=g（x）-2•f（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值（e为自然对数的底数）；
（Ⅲ） 设bn=f(n)

1

f(n+1)

（n∈N^*），试问数列{b_n}中是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把f（x）=x，g(x)=

3

8

x2+lnx+2代入F（x）=g（x）-2•f（x），求出F（x）解析式，再利用导数求极大值点与极小值点．
（Ⅱ）由（1）可求出数列的几个单调区间，分别考虑函数在每个单调区间上是否有零点即可求出[e^t，+∞）（t∈Z）的可能情况，进而，求t的最大值．
（Ⅲ）先根据bn=f(n)

1

f(n+1)

（n∈N^*），以及f（x）=x，求出数列{b_n}的通项公式，再根据导数，判断数列{b_n}是先增后减的，再求出数列递增的几项，与后面项相比较，就可判断是否存在相等的两项．

解答：解：（Ⅰ）由题知：F(x)=

3

8

x2+lnx+2-2x的定义域为（0，+∞）
∵F′(x)=

(3x-2)(x-2)

4x

∴函数F（x）的单调递增区间为(0，

2

3

]和[2，+∞)，F（x）的单调递减区间为[

2

3

，2]，
所以x=

2

3

为F（x）的极大值点，x=2为F（x）的极小值点．
（Ⅱ）∵F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上的最小值为F（2）
且F（2）=

3

8

×22-4+2+ln2=ln2-

1

2

=

ln4-1

2

＞0
∴F（x）在x∈[

2

3

，+∞)上没有零点，
∴函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，并考虑到F（x）在(0，

2

3

]单调递增且在[

2

3

，2]单调递减，故只须et＜

2

3

且F（e^t）≤0即可，易验证F(e-1)=

3

8

•e-2+1-2e-1＞0，F(e-2)=

3

8

•e-4+lne-2+2-2e-2=

1

e2

(

3

8

•e-2-2)＜0，当t≤-2且t∈Z时均有F（e^t）＜0，所以函数F（x）在[e^t，e^-1）（t∈Z）上有零点，
即函数F（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，∴t的最大值为-2．
（Ⅲ）利用导数易证，当x＞0时，所以(1+x)

1

x

＜e．  因为bn=n

1

n+1

，所以

(bn+1)(n+1)(n+2

(bn)(n+1)(n+2)

=

(n+1)n+1

nn+2

=

n+1

n2

•(1+

1

n

)n＜

e(n+1)

n2

＜

3(n+1)

n2

令

3(n+1)

n2

＜1，得：n²-3n-3＞0，结合n∈N^*得：n≥4
因此，当n≥4时，有

(bn+1)(n+1)(n+2)

(bn)(n+1)(n+2)

＜1，
所以当n≥4时，b_n＞b_n+1，即：b₄＞b₅＞b₆＞…，
又通过比较b₁、b₂、b₃、b₄的大小知：b₁＜b₂＜b₃＜b₄，
因为b₁=1，且n≠1时bn=n

1

n+1

≠1，所以若数列{b_n}中存在相等的两项，只能是b₂、b₃与后面的项可能相等，又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，所以数列{b_n}中存在唯一相等的两项，
即：b₂=b₈．

点评：本题前两问考查了利用导数求极值和最值，第三问考查导数与数列相结合的问题，综合性强，需认真解答．