Question

7．函数y=-x²+|x|，单调递减区间为[$-\frac{1}{2}$，0），[$\frac{1}{2}$，+∞），最大值和最小值的情况为最大值为$\frac{1}{4}$，无最小值．

Answer 1

分析 去绝对值号便得到$y=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-x}&{x＜0}\end{array}\right.$，这样根据二次函数的单调区间的求法，求出每段上的单调减区间即可，可判断该函数在整个定义域上的单调性，根据单调性即可画出该函数的草图，根据图象即可判断其最大值和最小值情况．

解答 解：$y=-{x}^{2}+|x|=\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴x≥0时，该函数在$[\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减；
x＜0时，该函数在$[-\frac{1}{2}，0）$上单调递减；
∴该函数的单调递减区间为：[$-\frac{1}{2}$，0），[$\frac{1}{2}，+∞$）；
该函数在（-∞，$-\frac{1}{2}$）上单调递增，在[$-\frac{1}{2}，0$）上单调递减，在[0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减；
且x=$-\frac{1}{2}$时，y=$\frac{1}{4}$，x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{1}{4}$；
∴该函数有最大值$\frac{1}{4}$，无最小值．
故答案为：$[-\frac{1}{2}，0），[\frac{1}{2}，+∞）$，有最大值$\frac{1}{4}$，无最小值．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及分段函数单调区间的求法，二次函数的单调性及单调区间的求法，根据函数的单调性求函数最值．