Question

已知数列{a_n}，{b_n}分别是等差数列和等比数列，且a₂=b₂=2，a₄=b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n，b_n．
（2）求数列{a_n}，{b_n}的前n项和S_n，T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意可得关于首项和公差，公比的方程组，解之可得通项公式；
（2）由（1）可知通项公式，进而可得数列的前n项和公式．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题意可得

a1+d=b1q=2 a1+3d=b1q3=8

，解得a₁=-1，d=3，

b1=1 q=2

或

b1=-1 q=-2

，
故由等差数列的通项公式可得a_n=-1+3（n-1）=3n-4，
由等比数列的求和公式可得b_n=1•2^n-1=2^n-1，或b_n=（-1）（-2）^n-1=-（-2）^n-1；
（2）由（1）可知a_n=3n-4，b_n=2^n-1，或b_n=-（-2）^n-1；
由等差数列的求和公式可得：S_n=

n(-1+3n-4)

2

=

3

2

n2-

5

2

n，
由等差数列的求和公式可得当b_n=2^n-1时，T_n=

1•(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1，
当b_n=-（-2）^n-1时，T_n=

-1•[1-(-2)n]

1-(-2)

=

1

3

(-2)n-

1

3

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．