Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-(a-

3

2

)x2+a2x-3ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，再令f'（x）=0，即x²-（2a-3）x+a²-3a=0，解得x₁=a-3，x₂=a．利用f′（x）＞0时，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时，f（x）为减函数．可解
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的递减区间是（a-3，a），因为函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，所以有(-

2

3

，-

1

3

)⊆(a-3，a)，从而

a-3≤- 2 3 a≥- 1 3

，故可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

3

x3-(a-

3

2

)x2+a2x-3ax求导：f'（x）=x²-（2a-3）x+a²-3a
令f'（x）=0，即x²-（2a-3）x+a²-3a=0，解得x₁=a-3，x₂=a．
列表：

x	（-∞，a-3）	a-3	（a-3，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

即f（x）在（-∞，a-3）递增，（a-3，a）递减，（a，+∞）递增     …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的递减区间是（a-3，a），
因为函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数所以有(-

2

3

，-

1

3

)⊆(a-3，a)即

a-3≤- 2 3 a≥- 1 3

，解得：-

1

3

≤a≤

7

3

．…（13分）

点评：此题考查函数的单调性与导数的关系，当f′（x）＞0时，f（x）为增函数，当f′（x）＜0时，f（x）为减函数．