Question

3．$\underset{lim}{n→x}$（$\frac{2+3}{6}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{{6}^{2}}$+$\frac{{2}^{3}+{3}^{3}}{{6}^{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{6}^{n}}$）=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先将通项a_n=$\frac{2^n+3^n}{6^n}$化为$（\frac{1}{3}）^{n}$+$（\frac{1}{2}）^{n}$，再运用等比数列求和公式求和，最后取极限．

解答 解：考察通项公式a_n=$\frac{2^n+3^n}{6^n}$=$（\frac{1}{3}）^{n}$+$（\frac{1}{2}）^{n}$，为两个等比数列之和，
所以，$\frac{2+3}{6}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{{6}^{2}}$+$\frac{{2}^{3}+{3}^{3}}{{6}^{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{6}^{n}}$=S_n+T_n，其中，
S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3^n}$），T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{2^n}$，所以，
$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{2+3}{6}$+$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{{6}^{2}}$+$\frac{{2}^{3}+{3}^{3}}{{6}^{3}}$+…+$\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{6}^{n}}$]
=$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3^n}$）+1-$\frac{1}{2^n}$]=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了极限的运算，涉及等比数列求和，极限的运算法则，属于中档题．