Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

得到AE⊥A₁D，AE⊥BD，从而证得AE⊥平面A₁BD．
（2）先求出面DA₁B的法向量

n1

，面BA₁A的法向量

n2

，再利用两法向量夹角与二面角的平面角相等或互补的关系求解即可．
（3）点B₁到平面A₁BD的距离等于

B1B

在面A₁BD的法向量

n1

方向上投影的绝对值．

解答：解：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A₁ （1，-2，0）C₁ （-1，-2，0）B （0，0，

3

）        

AE

=（-2，-1，0）

A1D

=（-1，2，0）

BD

=（0.0，-

3

）      

∵

AE

•

A1D

=2-2+0=0
∵

AE

•

BD

=0，∴∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

即AE⊥A₁D，AE⊥BD，又A₁D∩BD=D
∴AE⊥面A₁BD
（2）设面DA₁B的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁）由

n1

•

A1D

=0，

n1

•

BD

=0
得

-x1+2y1=0 z1(- 3 )=0

取

n1

=（2，1，0）
设面BA₁A的法向量为

n2=

(x2，y2，z2)，
同理由

n2

 •   

A1B

=0，   

n2

• 

A1A

 =0
解得

n2

=（3.0，

3

），
cos＜

n1

，

n2

＞=

6

5 × 12

=

15

5

．
由图可知二面角D-BA₁-A为锐二面角，所以它的大小为arccos

15

5

．
（3）

B1B

=（0，2，0）平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0）
则点B₁到平面A₁BD的距离d=|

B1B • n1

| n1 |

|  =

2

5

=

2 5

5

．

点评：本题考用空间向量解决直线和平面位置关系、二面角大小，点面距的计算，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力．属于常规题目．