Question

若f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x+a）在区间[-1，3]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）∵y=f（x+a）=（x+a）²-（x+a）+1=x²+（2a-1）x+a²-a+1 在[-1，3]不单调，
∴二次函数f（x）的对称轴x=-a+

1

2

在区间[-1，3]内，
∴-1＜-a+

1

2

＜3，
∴-

5

2

＜a＜

3

2

，
∴k的取值范围为{a|-

5

2

＜a＜

3

2

}．