Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过定点A（1，0）且与抛物线交于P，Q两点．
（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求p的值；
（2）在（1）的条件下，若

FP

+

FQ

=

FR

，求动点R的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先看斜率不存在时，把x=1代入抛物线方程求得y，弦PQ为直径的圆恒过原点O，求得p；在看斜率存在时设出直线方程与抛物线方程联立消去y，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₁x₂和x₁+x₂的表达式进而求得y₁y₂，以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求得p，综合答案可得．
（2）设动点R的坐标为（x，y）根据

FP

+

FQ

=

FR

可知

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

进而把各点的坐标代入整理得x=x1+x2-

1

4

且y=y1+y2，进而分别看直线斜率存在和不存在两种情况下x和y的关系．

解答：解：（1）①若直线l为x=1，将x=1代入y²=2px得y²=2p，
以弦PQ为直径的圆恒过原点O，有2p=1，∴p=

1

2

②若直线l不是x=1，设直线方程为：y=kx-k，
将y=kx-k代入y²=2px得k²x²-（2p+2k²）x+k²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由韦达定理得：x₁+x₂=

2p+2k2

k2

x₁x₂=1，
故y₁y₂=-2p
以弦PQ为直径的圆恒过原点O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0=1-2p，
∴p=

1

2

又此时△=4p²+8pk²＞0，
综合①②得p=

1

2

（2）设动点R的坐标为（x，y）
∵

FP

+

FQ

=

FR

∴

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

∴(-

1

4

，0)+(x1，y1)+(x2，y2)=(x，y)
∴x=x₁+x₂-

1

4

且y=y₁+y₂①直线l为x=1时，∴x=x₁+x₂-

1

4

=

7

4

，y=y1+y2=0②当直线l不是x=1时，x=

2p+2k2

k2

-

1

4

y=k(x1+x2)-2k=

2p

k

即得：x=2py²+

7

4

=y2+

7

4

，所以y2=x-

7

4

又因为点(

7

4

，0)在y²=x-

7

4

上，所以由①②得R点的轨迹方程为：y²=x-

7

4

点评：本题主要考查了抛物线的应用，直线与抛物线的关系．解题时要注意讨论直线斜率不存在时的情况．